Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=

(n+2)an

3

，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）令b_n=

2n+1

a 2 n

，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得1+a₂=

4a2

3

，1+3+a₃=

5a3

3

，由此能求出a₂，a₃．
（2）由已知得a_n=S_n-S_n-1=

(n+2)an

3

-

(n+1)an-1

3

，從而

an

an-1

=

n+1

n-1

，由此利用累乘法能求出a_n．
（3）由b_n=

2n+1

a 2 n

=

2n+1

n2(n+1)2 4

=4[

1

n2

-

1

(n+1)2

]，能求出{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=

(n+2)an

3

，且a₁=1．
∴1+a₂=

4a2

3

，解得a₂=3，
1+3+a₃=

5a3

3

，解得a₃=6．
（2）∵S_n=

(n+2)an

3

，∴n≥2時，S_n-1=

(n+1)an-1

3

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

(n+2)an

3

-

(n+1)an-1

3

，
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1，

an

an-1

=

n+1

n-1

，
∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=1×

3

1

×

4

2

×…×

n

n-2

×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
（3）b_n=

2n+1

a 2 n

=

2n+1

n2(n+1)2 4

=4[

1

n2

-

1

(n+1)2

]，
∴T_n=4[

1

12

-

1

22

+

1

22

-

1

32

+

1

n2

-

1

(n+1)2

]，
=4[1-

1

(n+1)2

]．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法和裂項求和法的合理運用．