過(guò)雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的上頂點(diǎn) A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 B、C，若
CA
=2
AB
，則雙曲線的離心率是（　　）
A、
5
B、
5
4
C、
10
D、
10
3
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：求出直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程，解得交點(diǎn)B，C，再由向量的坐標(biāo)和向量共線的坐標(biāo)表示，即可得到a=3b，運(yùn)用雙曲線的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到．
解答： 解：雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的上頂點(diǎn)A為（0，a），
直線AB：y=x+a，
由直線y=x+a與雙曲線的漸近線方程y=
a
b
x，
可得交點(diǎn)C（
ab
a-b
，
a2
a-b
），
由直線y=x+a與雙曲線的漸近線方程y=-
a
b
x，
可得交點(diǎn)B（-
ab
a+b
，
a2
a+b
）．
由
CA
=2
AB
，可得
（
ab
b-a
，
ab
b-a
）=2（
-ab
a+b
，
-ab
a+b
），
即有
ab
b-a
=-
2ab
a+b
，
即2b-2a=-a-b，
即a=3b，
則c=
a2+b2
=
a2+
a2
9
=
10
3
a，
則e=
c
a
=
10
3
．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程的運(yùn)用，及離心率的求法，同時(shí)考查向量共線定理的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)B，C是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z=4+3i，則|z|=（　�。�
A、5
B、
5
C、1+2i
D、±（1-2i）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

春節(jié)時(shí)，王師傅購(gòu)買了四種海鮮，打算放到冰箱的三個(gè)儲(chǔ)物箱（每個(gè)儲(chǔ)物箱至少放一種海鮮），但有兩種海鮮相克（放在一起會(huì)加快食品的腐�。�，故不能放在一個(gè)儲(chǔ)鮮箱，則不同的方法有
 
種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=
(n+2)an
3
，且a1=1．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）令bn=
2n+1
a
2
n
，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=lgx-1的零點(diǎn)是（　�。�
A、10
B、
1
10
C、（10，0）
D、（0，10）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)變量x，y滿足約束條件
y≥x
x+3y≤4
x≥-2
，則z=|x-3y|的最大值為（　�。�
A、4B、6C、8D、10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin2x+
1
2
（sin2x-cos2x）+
2
；
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若存在t∈[
π
12
，
π
3
]滿足[f（t）]2-2
2
f（t）-m=0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：任意的x1∈[-
π
6
，
π
3
]，存在唯一的x2∈[-
π
6
，
π
3
]，使f（x1）•f（x2）=1成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a≥0，b≥0，證明：a3+b3≥a2b+ab2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+x+1在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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