Question

17．已知梯形ABCD如圖所示，連接AC，AD：DC：AC：BC：AB=1：1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$：2，現(xiàn)沿AC將梯形ABCD折疊成三棱錐D-ABC，則當(dāng)三棱錐D-ABC的體積最大時(shí)，二面角D-AB-C的正切值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)AD=1，則DC=1，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，AB=2，根據(jù)三棱錐體積最大時(shí)，得到DE⊥平面ABC，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，進(jìn)行求解即可．

解答 解：AD：DC：AC：BC：AB=1：1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{2}$：2，
∴不妨設(shè)AD=1，則DC=1，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，AB=2，
則AD⊥CD，AC⊥BC，
取AC的中點(diǎn)E，則DE⊥AC，
若棱錐D-ABC的體積最大時(shí)，
∵底面△ABC的面積是定值，
∴只要三棱錐的高最大即可，
此時(shí)滿足DE⊥平面ABC，即可．
過(guò)E作EH⊥AB，連接DH，
則DH⊥AB，
即∠DHE是二面角D-AB-C的平面角，
則tan∠DHE=$\frac{DE}{EH}$，
∵在等腰直角三角形ADC中，AD=1，∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則等腰直角三角形ACB中，EH=AEsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則tan∠DHE=$\frac{DE}{EH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)三棱錐體積最大值時(shí)確定DE⊥平面ABC是解決本題的關(guān)鍵．利用定義法作出二面角的平面角是本題的難點(diǎn)．