Question

對某校高二年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖（如圖）：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	n
[15，20）	26	0.65
[20，25）	3	p
[25，30）	m	0.025
合計	M	1

（Ⅰ）請寫出表中M，m，n，p及圖中a的值；
（Ⅱ）請根據(jù)頻率分布直方圖估計這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)；
（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求恰有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)落在區(qū)間M內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（I）利用[15，20）內(nèi)的頻數(shù)是26，頻率是0.65，求出樣本的容量，再利用頻數(shù)之和為樣本容量，頻率之和為1，求m、n、p；
（II）求各個小矩形的底邊中點的橫坐標乘以對應(yīng)小矩形的面積之和，可得平均數(shù)；
（III）求出參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)不少于20次的學(xué)生數(shù)，寫出任選2人的所有基本事件，找出恰有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的基本事件，代入概率公式計算．

解答：解：（Ⅰ）由分組[15，20）內(nèi)的頻數(shù)是26，頻率是0.65知，

26

M

=0.65，所以M=40
因為頻數(shù)之和為40，所以10+26+3+m=40，m=1，n=

10

40

=0.25，p=

3

M

=

3

40

=0.075，
因為a是對應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，所以a=

0.65

5

=0.13；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得分組[10，15）內(nèi)的頻率為0.25，分組[15，20）內(nèi)的頻率為0.65，分組[20，25）內(nèi)的頻率為0.075，分組[25，30）內(nèi)的頻率為0.025M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)為12.5×0.25+17.5×065+22.5×0075+
275×0025=3.125+11.375+1.6875+0.6875=16.875≈17
所以估計M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù)為17；
（Ⅲ）這個樣本中，參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m+1=4人
設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人為a₁，a₂，a₃，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人為b，
則任選2人共6種情況：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），
恰有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的情況共有3種：（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b）
所以，恰有一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間M內(nèi)的概率為p=

3

6

=

1

2

．

點評：本題考查了由頻率分布直方圖求平均數(shù)，考查了古典概型的概率計算，考查了學(xué)生的讀圖努力與數(shù)據(jù)處理能力，讀懂頻率分布表是關(guān)鍵．