Question

2．已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）求圓C的方程；
（2）設Q為圓C上的一個點，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）由已知中圓C過點P（1，1），且圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱，我們可以求出圓C的方程；
（2）設Q（x，y），則利用M（-2，-2），$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4，可得x²+x+y²+y=0，結(jié)合x²+y²=2，即可求點Q的坐標．

解答 解：（1）設圓心C（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}\right.$，解得a=0，b=0；
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，故圓C的方程為x²+y²=2；
（2）設Q（x，y），則
∵M（-2，-2），$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4，
∴（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=-4，
∴x²+x-2+y²+y-2=-4，
∴x²+x+y²+y=0，
∵x²+y²=2，
∴x=-1，y=-1，
∴Q（-1，-1）．

點評 本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，關于直線對稱的圓的方程，其中根據(jù)已知條件求出圓C的方程是解答本題的關鍵．