Question

已知函數(shù)f(x)＝a－是偶函數(shù)，a為實常數(shù).

(1)求b的值；

(2)當a＝1時，是否存在n>m>0，使得函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由.

(3)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m，n](m<n)，使得y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

(1)由已知，可得f(x)＝a－的定義域為D＝(－∞，)∪

(，＋∞).

又y＝f(x)是偶函數(shù)，故定義域D關于原點對稱.

于是，b＝0(否則，當b≠0時，有－∈D且D，即D必不關于原點對稱).

又對任意x∈D，有f(x)＝f(－x)，可得b＝0.

因此所求實數(shù)b＝0.

(2)由(1)，可知f(x)＝a－(D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).

觀察函數(shù)f(x)＝a－的圖象，可知：f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，

又n>m>0，

∴y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù).

因y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n].

∴有，

即方程1－＝x，也就是2x²－2x＋1＝0有兩個不相等的正根.

∵Δ＝4－8<0，∴此方程無解.

故不存在正實數(shù)m，n滿足題意.

(3)由(1)，可知f(x)＝a－(D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)).

觀察函數(shù)f(x)＝a－的圖象，

可知：f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，

f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù).

因y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，故必有m、n同號.

①當0<m<n時，f(x)在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，有，即方程x＝a－，也就是2x²－2ax＋1＝0有兩個不相等的正實數(shù)根，因此，解得a>(此時，m、n(m<n)取方程2x²－2ax＋1＝0的兩根即可).

②當m<n<0時，f(x)在區(qū)間[m，n]上是減函數(shù)，有，化簡得(m－n)a＝0，解得a＝0(此時，m、n(m<n)的取值滿足mn＝，且m<n<0即可).

綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是a＝0或a>.