Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1．
（ I） 求二面角C-DE-C₁的正切值； （ II） 求直線EC₁與FD₁所成的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（ I）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，利用數(shù)量積表示出兩個向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出平面的一個法向量，根據(jù)兩個向量之間的夾角求出結(jié)果．
（ II）把兩條直線對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出來，根據(jù)兩個向量之間的夾角表示出異面直線的夾角．
解答：解：（I）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則有D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）
于是，=（-4，2，2）
設(shè)向量與平面C₁DE垂直，則有cosβ=z
∴（-1，-1，2），其中z＞0
取DE垂直的向量，
∵向量=（0，0，2）與平面CDE垂直，
∴的平面角
∵cosθ=
∴tanθ=
（II）設(shè)EC₁與FD₁所成角為β，則cosβ=
點(diǎn)評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出要用的空間向量，把立體幾何的理論推導(dǎo)變成數(shù)字的運(yùn)算，這樣降低了題目的難度．