Question

設等差數列{a_n}的公差為d,點(a_n,b_n)在函數f(x)=2^x的圖象上(n∈N^*).

(1)若a₁=-2,點(a₈,4b₇)在函數f(x)的圖象上,求數列{a_n}的前n項和S_n;

(2)若a₁=1,函數f(x)的圖象在點(a₂,b₂)處的切線在x軸上的截距為2-,求數列{}的前n項和T_n.

Answer 1

解:(1)由已知,b₇=,b₈==4b₇,有=4×=,則a₈=a₇+2,

解得d=a₈-a₇=2.

所以,S_n=na₁+d=-2n+n(n-1)=n²-3n.

(2)由f(x)=2^x,f′(x)=2^xln 2,

過點(a₂,b₂),即(a₂,),

斜率為 ln 2,則

函數f(x)=2^x在(a₂,b₂)處的切線方程為

y-=(ln 2)(x-a₂),

它在x軸上的截距為a₂-.

由題意,a₂-=2-,

解得a₂=2.

所以,d=a₂-a₁=1.

從而a_n=n,b_n=2ⁿ,

所以T_n=+++…++,

2T_n=+++…+.

因此,2T_n-T_n=1+++…+-=2--=.

所以,T_n=.