Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若有兩個零點，求a的取值范圍；

（2）設，，直線的斜率為k，若恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求導得,當時,可得在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點, 當時,利用導數(shù)可以求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為,由，解得.然后根據(jù), 得到在上有1個零點；根據(jù),,得到在上有1個零點,可得的取值范圍.

(2)利用斜率公式將恒成立,轉(zhuǎn)化為,即在上是增函數(shù),再求導后,分離變量變成,最后用基本不等式求得最小值,代入即得.

（1），，

①當時，，在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點；

②當時，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，．

∴在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，，解得，此時，且，∴在上有1個零點；

，

令，則，∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，∴在上有1個零點．

∴a的取值范圍是．

（2）由題意得，

∴，

∴在上是增函數(shù)，

∴在上恒成立，∴，

∵，∴，當且僅當時，即取等號，∴．

∴a的取值范圍是．