Question

【題目】大學的生活豐富多彩，很多學生除了學習本專業(yè)的必修課外，還會選擇一些選修課來充實自已.甲同學調(diào)查了自己班上的名同學學習選修課的情況，并作出如下表格：

每人選擇選修課科數(shù)
頻數(shù)

（1）求甲同學班上人均學習選修課科數(shù)：

（2）甲同學和乙同學的某門選修課是在同一個班，且該門選修課開始上課的時間是早上，已知甲同學每次上課都會在到之間的任意時刻到達教室，乙同學每次上課都會在到之間的任意時刻到達教室，求連續(xù)天內(nèi)，甲同學比乙同學早到教室的天數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

Answer 1

【答案】（1）甲同學的班上平均每人學習選修課科數(shù)是（2）詳見解析

【解析】

（1）將所有的每人選擇選修課科數(shù)和對應頻數(shù)相乘之后再求和，即得總的科目數(shù)，再除以總?cè)藬?shù)，即為人均學習選修課科數(shù)；

（2）將甲和乙到達教室的時間視為，，可得甲，乙到達教室的時間在平面直角坐標系中構(gòu)成的區(qū)域，然后找到甲比乙早到教室的時間在平面直角坐標系中構(gòu)成的區(qū)域，利用幾何概型的公式可求出甲比乙早到教室的概率，然后分別求出甲比乙早到教室的天數(shù)為，，，時的概率，進而可求出天數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

解：（1）設甲同學班上人均學習選修課科數(shù)為，根據(jù)表格可得

，

即甲同學的班上平均每人學習選修課科數(shù)是.

（2）設甲同學和乙同學到達教室的時間分別為，，可以看成平面中的點，

則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，

所以.

用B表示事件“甲同學比乙同學早到教室”，該事件所構(gòu)成的平面區(qū)域為

，

所以，

故.

將連續(xù)天內(nèi)甲同學比乙同學早到教室的天數(shù)記為，則可能的取值為，，，，

，，

，，

故的分布列為

所以，.