Question

已知函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：易求函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域?yàn)椋?，+∞）因此要使函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）≥0在（0，+∞）上恒成立即可即對(duì)a進(jìn)行討論再結(jié)合單調(diào)性保證alnx+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．

解答：解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）． …（2分）
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)；       …（3分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，∵

lim

x→+∞

lnx=+∞，

lim

x→+∞

1

x

=0，
∴

lim

x→+∞

(alnx+

1

x

)=-∞，
又∵e^ax＞0，∴當(dāng)x→+∞時(shí)，f′（x）＜0，
與f（x）在（0，+∞）上遞增矛盾；…（5分）
③當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)g（x）=alnx+

1

x

則g′（x）=

a

x

-

1

x2

=

a

x2

(x-

1

a

)．
若0＜x＜

1

a

時(shí)，g′（x）＜0，x＞

1

a

時(shí)，g′（x）＞0
∴g（x）在x=

1

a

時(shí)取得最小值即g（x）的最小值為g（

1

a

）=-alna+a=a（1-lna）．       …（8分）
（i）當(dāng)0＜a＜e，則g（

1

a

）＞0，從而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（ii）當(dāng)a=e，則g（

1

a

）=0，其余各點(diǎn)處g（x）＞0，從而f′（x）≥0（僅在x=

1

a

時(shí)取等號(hào)），
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（iii）當(dāng)a＞e，則g（

1

a

）＜0，從而f′（

1

a

）＜0，與f（x）在（0，+∞）上遞增矛盾．…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是[0，e]．       …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，較難．解題的關(guān)鍵是要緊緊抓住要使函數(shù)f（x）=e^axlnx在定義域內(nèi)是增函數(shù)即使f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）≥0在（0，+∞）上恒成立這一等價(jià)條件！