已知函數(shù)．f（x）=
a
2
-
2x
2x+1
．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；
（2）利用單調(diào)性定義證明f（x）在R上是減函數(shù)．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，建立等式，求解a值；
（2）直接根據(jù)單調(diào)性定義，進行求解．
解答： 解：（1）若f（x）是奇函數(shù)，
則 f（x）+f（-x）=0，
即：a-1=0，
∴a=1；
（2）由（1）知f(x)=
1
2
-
2x
2x+1

設(shè) x1， x2∈R且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)
，
∵x2＞x1∴2x2-2x1＞0，
而2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)
＞0，
即f（x1）＞f（x2）
故f（x）在R上是減函數(shù)．
點評：本題重點考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其性質(zhì)運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2+mx-4y+1=0，過定點P（0，1）作斜率為1的直線交圓C于A、B兩點，P為線段AB的中點．
（1）求m的值；
（2）設(shè)E為圓C上不同于A、B的任意一點，求△ABE面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-（x-1）2+16，令g（x）=（2-2a）x-f（x）．
（1）若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某運輸公司今年年初用128萬元購進一批出租車，并立即投入營運，計劃第一年維修、保險及保養(yǎng)費用4萬元，從第二年開始，每年所需維修、保險及保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該批出租車使用后，每年的總收入為120萬元，設(shè)使用x年后該批出租車的盈利額為y萬元．
（Ⅰ）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）試確定x，使該批出租車年平均盈利額達到最大，并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

討論函數(shù)f（x）=（
1
2
）|x|的定義域、值域、奇偶性，作出它的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且 cos2A+4cos2
B+C
2
=
1
2
．
（1）求∠A；
（2）若a=5，△ABC的面積為2
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（-1，2）為曲線C：y=2x2上的點，直線l1過點A，且與曲線C相切，
直線l2：x=a（a＞-1）交曲線C于B，交直線l1于點D．
（Ⅰ） 求直線l1的方程；
（Ⅱ）設(shè)△BAD的面積為S1，求S1的值；
（Ⅲ） 設(shè)由曲線C，直線l1，l2所圍成的圖形的面積為S2，求證S1：S2的值為與a無關(guān)的常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x+1）的定義域為[2，5]，求f（x2+1）的定義域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項等比數(shù)列{an}滿足：lna1+lna2=4，lna4+lna5=10．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記Sn=lna1+lna2+…+lnan，數(shù)列{bn}滿足bn=
1
2Sn
，若存在n∈N，使不等式K＜（b1+b2+…+bn）（
2
3
）n 成立，求實數(shù)K的取值范圍．

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