Question

已知f(n)＝．

(1) 當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；

(2) 由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(1) 當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)>g(1)；

當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)>g(2)；

當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)>g(3)．

(2) 猜想：f(n)>g(n)(n∈N^*)，即 (n∈N^*)．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝

只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，

需證：(2k＋3)²>4(k＋2)(k＋1)，

即證：4k²＋12k＋9>4k²＋12k＋8，此式顯然成立．

所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．

綜上可知：對(duì)n∈N^*，猜想都成立，

即 (n∈N^*)成立．