Question

已知△ABC的面積S滿足

3

≤S≤3

3

，且

AB

•

BC

=6．
（1）求角B的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(B)=

1- 2 cos(2B- π 4 )

sinB

的值域．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的面積S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinB，且

AB

•

BC

=6．我們易得S=-3tanB，又因?yàn)闈M足

3

≤S≤3

3

，故我們可得一個關(guān)于角B的三角不等式，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性及B為三角形內(nèi)角，解三角不等式即可得到角B的取值范圍；
（2）要求函數(shù)f（B）的值域，要先將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性和（1）中B的取值范圍進(jìn)行求解．

解答：解：（1）

AB

•

BC

=|

AB

|•|

BC

|•cos(π-B)=6①
S=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinB②；
由①、②得，S=-3tanB．
由

3

≤S≤3

3

可得，

3

3

≤-tanB≤

3

，
又0≤B≤π，
所以B∈[

2π

3

，  

5π

6

]．
（2）f(B)=

1- 2 cos(2B- π 4 )

sinB

=2

2

sin(B-

π

4

)，
因?yàn)?span id="x4mf8s4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">B∈[

2π

3

，  

5π

6

]，
所以B-

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，
當(dāng)B=

3π

4

時，
f（B）取最大值2

2

；
當(dāng)B=

2π

3

或B=

5π

6

時，
f（B）取最小值1+

3

．
綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[1+

3

，2

2

]．

點(diǎn)評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

π

ω

進(jìn)行求解．