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下列敘述
①對于函數f(x)=-x2+1,當x1≠x2時,都有
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
);
②設f(x)=
1+x2
1-x2
則f(2)+f(3)+…+f(2012)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2012
)=0;
③定義域是R的函數y=f(x)在[a,b)上遞增,且在[b,c]上也遞增,則f(x)在[a,c]上遞增;
④設滿足3x=5y的點P為(x,y),則點P(x,y)滿足xy≥0.
其中正確的所有番號是:
①②④
①②④
分析:①作出函數的圖象,利用凸函數的定義進行判斷.②證明f(x)+f(
1
x
)=0即可.③根據函數單調性的定義,舉出反例即可.④根據指數函數的性質進行判斷.
解答:解:①不妨設x1<x2時,作出對應的函數圖象(圖1),由圖象可知,
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
),(滿足
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
的函數成為凸函數),∴①正確.
②∵f(x)=
1+x2
1-x2
,∴f(x)+f(
1
x
)=
1+x2
1-x2
+
1+(
1
x
)2
1-(
1
x
)2
=
1+x2
1-x2
+
1+x2
x2-1
=
1+x2
1-x2
-
1+x2
1-x2
=0,
∴f(2)+f(3)+…+f(2012)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2012
)=0,∴②正確.
③函數f(x)=
x+1,0≤x<1
x,1≤x≤2
,滿足在[0,1),和[1,2]上分別單調遞增,但f(x)在[0,2]上不是單調函數(圖2),
∴③錯誤.
④若x=0,則3x=5y=1,∴此時y=0,∴xy=0,滿足xy≥0,
若x>0,則3x=5y>1,∴此時y>0,∴xy>0,滿足xy≥0,
若x<0,則3x=5y<1,∴此時y<0,∴xy>0,滿足xy≥0,
綜上恒有xy≥0,成立,∴④正確.
故答案為:①②④.
點評:本題主要考查函數的圖象和性質的應用,利用數形結合是解決函數問題中經常用的方法,考查函數性質的綜合應用.
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[  ]

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對于函數f(x)=|x-2a|-x(其中a為某一實數),下列敘述正確的是


  1. A.
    函數f(x)有最小值2a;
  2. B.
    函數f(x)有最小值-2a;
  3. C.
    函數f(x)有最大值-2a
  4. D.
    函數f(x)不一定有最值.

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