Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，半焦距為c.依題意，

由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得a-c=1．解得c=1，a=2．所以.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 4分

（Ⅱ）【解析】
存在直線l，使得成立.理由如下：

由得．

，化簡(jiǎn)得．

設(shè)，則，．

若成立，即，等價(jià)于．所以．，

，,

化簡(jiǎn)得，．將代入中，，解得，．又由，，

從而，或．

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 12分

考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，經(jīng)常利用設(shè)而不求的思路，即利用韋達(dá)定理解決