【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,為的中點(diǎn),.
(1)求證:平面;
(2)點(diǎn)在線段上,,試確定的值,使平面;
(3)若平面,平面平面,求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)60°
【解析】
(1)連接,根據(jù)幾何性質(zhì)可證明,利用線面垂直的判定,即可證明平面;
(2)連接交于N,連接,由相似三角形性質(zhì)可得,結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì),可得,利用比例關(guān)系,即可得到結(jié)論;
(3)證明平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,取平面的法向量,利用空間向量的夾角公式,即可求得二面角的大小.
(1)證明:連接.
因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形,,所以為正三角形.
又為的中點(diǎn),所以.
因?yàn)?/span>,為的中點(diǎn),所以.
又,
所以平面.
(2)當(dāng)時(shí),平面.
理由如下:連接交于N,連接.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>平面,平面,平面平面,
所以,
所以,
所以,即.
(3)因?yàn)?/span>,平面平面,交線為,
所以平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
由,則有,,.
設(shè)平面的法向量為,由,
且,,可得,
令,得.
所以為平面的一個(gè)法向量.
取平面的法向量,
則,
故二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),有g(x)=f(x),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),求函數(shù)y=g(x)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費(fèi)用200元,另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi),小費(fèi)每次50元.在機(jī)器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機(jī)時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元,無需支付小費(fèi).現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計(jì)表:
維修次數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
記表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),表示1臺(tái)機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用(單位:元),表示購機(jī)的同時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù).
(1)若,求與的函數(shù)解析式;
(2)若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國(guó)家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對(duì)新高考,某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生(其中男生550人,女生 450 人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含女生45人,求的值及抽取到的男生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表. 請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有 99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
(3)在抽取的選擇“地理”的學(xué)生中按分層抽樣再抽取6名,再從這6名學(xué)生中抽取2人了解學(xué)生對(duì)“地理”的選課意向情況,求2人中至少有1名男生的概率.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、PA、PBC分別為⊙O的切線和割線,切點(diǎn)A是BD的中點(diǎn),AC、BD相交于點(diǎn)E,AB、PE相交于點(diǎn)F,直線CF交⊙O于另一點(diǎn)G、交PA于點(diǎn)K.
證明:(1)K是PA的中點(diǎn);(2)..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加
B. 2016年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過2012年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍
C. 2016年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收超過2012年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍
D. 2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過三分之一
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰梯形中,,,分別為,的中點(diǎn),,為中點(diǎn)現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體在圖②中,
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時(shí)的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.
(1)請(qǐng)問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?
(2)在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過處,且全程不等紅綠燈的概率;
(3)請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開哪條路線?
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