Question

7．楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個(gè)11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第19個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)第n行中所有數(shù)和為A，n階（包括0階）楊輝三角中的所有數(shù)的和為B，且A+B=95，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)1+3+6+10+15=35：第m斜列中（從右上到左下）前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k（m，k∈N^*）子表示上述結(jié)論，并證明之．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)陣中數(shù)的排列規(guī)律，可得第n行的從左到右第m+1個(gè)數(shù)為C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n），由此即可算出第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)的大�。�
（2）由條件知，A=2ⁿ，B=1+2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，建立關(guān)于n的方程并化簡整理，解之可得n=5；
（3）根據(jù)題意，所求結(jié)論可表示為C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）．再由組合數(shù)的性質(zhì)：C_m^m+C_m^m-1=C_m+1^m，代入等式的左邊進(jìn)行化簡整理，即可得到該等式成立

解答 解：（1）由題意，得第n行的從左到右第m+1個(gè)數(shù)C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n），
∴第20行中從左到右的第19個(gè)數(shù)C₂₀¹⁸=C₂₀²=190；
（2）由條件知，A=2ⁿ，B=1+2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，
由A+B=95，得2ⁿ=32，所以，n=5．
（3）用公式表示為：C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）
證明：左式=C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=C_m^m+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+1^m+C_m+1^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=…=C_m+k-2^m+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m=右式
即等式C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）成立．

點(diǎn)評 本題給出三角形數(shù)陣，求它的指定項(xiàng)和在m斜列中包含的等式．著重考查了組合數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)用組合數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題、方程與恒等式的處理與證明等知識，屬于中檔題