已知函數(shù)f(x)=
ax-1ax+1
(a＞1)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，驗(yàn)證f（-x）=-f（x）即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性的證題步驟：取值、作差、變形定號(hào)、下結(jié)論，即可證得．
解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)镽
∵f(-x)=
a-x-1
a-x+1
=
1-ax
1+ax
=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：f(x)=
ax-1
ax+1
=1-
2
ax+1

在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，則
f(x1)-f(x2)=1-
2
ax1+1
-1+
2
ax2+1
=
2(ax1-ax2)
(ax2+1)(ax2+1)

∵x1＜x2，a＞1，∴ax1＜ax2
∴ax1-ax2＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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