Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列對應(yīng)值如下表：

x	…	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3 4 π	…
y	…	0	1	1 2	0	-1	0	…

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，f(A)=-

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的周期，求出ω，根據(jù)特殊點求出φ，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f(A)=-

1

2

，確定A的值，利用正弦定理求出sinB，再求△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）由題中表格給出的信息可知，
函數(shù)f（x）的周期為T=

3π

4

+

π

4

=π，
所以ω=

2π

π

=2．
注意到sin(2×(-

π

4

)+φ)=0，也即φ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，
由0＜φ＜π，所以φ=

π

2

所以函數(shù)的解析式為f(x)=sin(2x+

π

2

)（或者f（x）=cos2x）
（Ⅱ）∵f(A)=cos2A=-

1

2

，∴A=

π

3

或A=

2π

3

當(dāng)A=

π

3

時，在△ABC中，由正弦定理得，

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴sinB=

AC•sinA

BC

=

2× 3 2

3

=

3

3

，
∵BC＞AC，∴B＜A=

π

3

，∴cosB=

6

3

，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

，
∴S△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=

1

2

×2×3×

3 2 + 3

6

=

3 2 + 3

2

；）
同理可求得，當(dāng)A=

2π

3

時，
S△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=

1

2

×2×3×

3 2 - 3

6

=

3 2 - 3

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，正弦定理，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．