已知a＋b＋c＞0，abc＞0，ab＋bc＋ca＞0．

求證：a＞0，b＞0，c＞0．

答案：
解析：

　　證明：由abc＞0，可知a、b、c都大于零或兩個負數(shù)、一個正數(shù)．

　　若兩個負數(shù)、一個正數(shù)，不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0．

　　則由a＋b＋c＞0，知a＞－(b＋c)．

　　又∵b＜0，c＜0，∴b＋c＜0．

　　∴－(b＋c)＞0．∴a＞－(b＋c)＞0．

　　∴a(b＋c)＜－(b＋c)2．

　　∴bc＋a(b＋c)＜bc－(b＋c)2，

　　即ab＋bc＋ac＜－b2－bc－c2＜0．

　　這與已知ab＋bc＋ac＞0相矛盾．

　　∴不可能有兩個負數(shù)、一個正數(shù)，只能都是正數(shù)，

　　即a＞0，b＞0，c＞0成立．

　　解析：本題正面證不太易證，可從反面證明．


提示：

由已知式子，即n＝2，n＝3，n＝4時所成立的式子，找出與n之間的關(guān)系．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，則
ac
b
的（　�。�
A、最大值是
3
B、最小值是
3
C、最大值是
3
3
D、最小值是
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞c＞0，若P=
b-c
a
，Q=
a-c
b
，則（　�。�
A、P≥QB、P≤Q
C、P＞QD、P＜Q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）已知a，b，c∈（0，+∞），且
1
a
+
2
b
+
3
c
=2，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)一模）（1）A、B、C為斜三角形ABC的三個內(nèi)角，tgA+tgB+1=tgAtgB．求角C；
（2）命題：已知A，B，C∈（0，π），若tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC，則A+B+C=π．判斷該命題的真假并說明理由．
（說明：試卷中的“tgA”在試點教材中記為“tanA”）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+
3
3(a-b)(b-c)c
≥6（并指出等號成立的條件）

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