Question

9．設(shè)a，b∈R，且a≠-2，若奇函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$在區(qū)間（-b，b）上有定義．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x）=恒成立，進(jìn)而可得a值．
（2）再利用奇函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得b的取值范圍．

解答 解：（1）依題意知：奇函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}$在區(qū)間（-b，b）上有定義
∴當(dāng)x∈（-b，b）時(shí)，f（-x）=-f（x）恒成立，
即lg $\frac{1-ax}{1+2x}$=-lg$\frac{1+ax}{1-2x}$恒成立，
即lg $\frac{1-ax}{1+2x}$+lg$\frac{1+ax}{1-2x}$=0恒成立，
即lg（$\frac{1-ax}{1+2x}$•$\frac{1+ax}{1-2x}$）=0恒成立，
即$\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-4{x}^{2}}$=1恒成立，
即a²=4，
∵a≠-2，
∴a=2．
（2）由$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
依題意知：（-b，b）⊆（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴0＜b≤$\frac{1}{2}$，
即b∈（0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．