Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（2）在區(qū)間（1，e）上，$\frac{alnx}{x-1}$＞1（a＞0）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（2）在區(qū)間（1，e）上，$\frac{alnx}{x-1}$＞1（a＞0）恒成立，a＞$\frac{x-1}{lnx}$，求右邊函數(shù)的范圍，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程是y-1+ln2=-2（x-$\frac{1}{2}$），即2x+y-2+ln2=0；
（2）在區(qū)間（1，e）上，$\frac{alnx}{x-1}$＞1（a＞0）恒成立，
∴a＞$\frac{x-1}{lnx}$，
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，則g′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$．
由（1）f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（1）=0，∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＜g（e）=e-1，
∴a≥e-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何運(yùn)用，不等式的恒成立問(wèn)題，不等式恒成立一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，而需要進(jìn)一步研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．