Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f(x)=2

x

3

+3

x

2

+1，且對(duì)任意的x滿足f（x-2）=Mf（x）（常數(shù)M≠0），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，5]上的最小值與最大值之比是（　�。�

• A．

  1

  6

• B．

  1

  4

• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，5]上的解析式，再由所得的解析式，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求出函數(shù)在區(qū)間[3，5]上的最小值與最大值，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意對(duì)任意的x滿足f（x-2）=Mf（x）（常數(shù)M≠0），
∴f（x）=

f(x-2)

M

=

f(x-4)

M2

∵x∈[3，5]，∴x-4∈[-1，1]，
∵x∈[-1，1]時(shí)，f(x)=2

x

3

+3

x

2

+1，
∴f(x-4)=2

(x-4)

3

+3

(x-4)

2

+1
∴f（x）=

2 (x-4) 3   +3 (x-4) 2   +1

M2

（x∈[3，5]）
∴f′（x）=

6 (x-4) 2   +6(x-4)

M2

=

6(x-3)(x-4)

M2

∴函數(shù)在[3，4]上單調(diào)遞減，在[4，5]上單調(diào)遞增
∴f（3）=

2

M2

，f（4）=

1

M2

，f（5）=

6

M2

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，5]上的最小值為

1

M2

，最大值為

6

M2

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，5]上的最小值與最大值之比是

1

6

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．