Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+

ax2

2

-2x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論．分a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當(dāng)a=1時，f（x）=1nx+

x2

2

-2x，因為f′(x)=

1

x

+x-2=

(x-1)2

x

≥0，…（3分）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=e時，函數(shù)f（x）取得最大值f（e）=1+

e2

2

-2e．…（5分）
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

ax2-2x+a

x

．…（6分）
當(dāng)a=0時，因為f′（x）=-2＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）
當(dāng)a＞0時，
（1）當(dāng)△=4-4a²≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（9分）
（2）當(dāng)△=4-4a²＞0時，即0＜a＜1時，由f′（x）＞0解得，0＜x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

．…（10分）
由f′（x）＜0解得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

；   …（11分）
所以當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增；在(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)上單調(diào)遞減，(

1+ 1-a2

a

，+∞)單調(diào)遞增．…（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確利用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．