Question

已知：如圖，AB是圓C：x²+y²+4x-12y+24=0的弦，且過點P（0，5）．
（Ⅰ）若弦AB的長為4

3

，求直線AB的方程；
（Ⅱ）求弦AB中點D的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，解直角三角形求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線的點斜式方程并整理為一般式，利用點到直線的距離得到k的等式，代入距離后求得k的值；
（Ⅱ）直接設(shè)出AB中點D的坐標(biāo)，把CD⊥PD轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量的數(shù)量積等于0，代入坐標(biāo)后可得弦AB中點D的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)D是線段AB的中點，則CD⊥AB，
由x²+y²+4x-12y+24=0得（x+2）²+（y-6）²=16．
所以圓心C（-2，6），半徑r=4．
因為|AB|=4

3

，∴|AD|=2

3

，又|AC|=4．
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
設(shè)直線l的方程為：y=kx-5，
即kx-y+5=0．由點C到直線AB的距離公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，
此時直線l的方程為3x-4y+20=0．
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x=0．
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．
（Ⅱ） 設(shè)D（x，y），則CD⊥PD，
∴

CD

•

PD

=0，
∴（x+2，y-6）•（x，y-5）=0，
化簡得所求軌跡方程為x²+y²+2x-11y+30=0（在圓內(nèi)部分）．

點評：本題考查了直線與圓的關(guān)系，考查了利用平面向量的數(shù)量積求軌跡方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．