已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線過點P（2，1）．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過Q（1，1）作直線交拋物線于A、B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．
分析：（1）設拋物線的標準方程為 x2=2py，把點P（2，1）代入可得 p 值，從而求得拋物線的標準方程．
（2）由題意可知，AB的斜率存在，設AB的方程為 y-1=k（x-1），代入拋物線的標準方程化簡，由x1+x2=2，求得k的值，從而得到AB的方程．
解答：解：（1）設拋物線的標準方程為  x2=2py，把點P（2，1）代入可得 4=2p，∴p=2，
故所求的拋物線的標準方程為x2=4y．
（2）由題意可知，AB的斜率存在，設AB的方程為 y-1=k（x-1），代入拋物線的標準方程為x2=4y 可得
x2-4kx+4k-4=0，∴x1+x2=4k=2，∴k=
1
2
，∴AB的方程為 y-1=
1
2
（x-1），
即x-2y+1=0．
點評：本題考查拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，線段的中點公式的應用，得到 x1+x2=4k=2，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線與直線y=2x+1交于P、Q兩點，|PQ|=
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，求拋物線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知頂點在原點、焦點F在y軸正半軸上的拋物線Q1過點（2，1），拋物線Q2與Q1關于x軸對稱．
（I）求拋物線Q2的方程；
（II）過點F的直線交拋物線Q1于點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），過A、B分別作Q1的切線l1，l2，記直線l1與Q2的交點為M（m1，n1），N（m2，n2）（m1＜m2），求證：拋物線Q2上的點S（s，t）若滿足條件m2s=4，則S恰在直線l2上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線過點P（2，1）．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點，求直線l的方程；
（3）過點Q（1，1）作直線交拋物線于A，B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為
15
．
（1）求拋物線的方程；
（2）若拋物線與直線y=2x-5無公共點，試在拋物線上求一點，使這點到直線y=2x-5的距離最短．

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