Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，且a_n=$\frac{{2{a_{n-1}}}}{{2+{a_{n-1}}}}$（n≥2）．
（1）求證：$\{\frac{1}{a_n}\}$為等差數(shù)列，并求a_n；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}}}{{2+{a_{n-1}}}}$兩邊同時取倒數(shù)，可構(gòu)造首項、公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項、進而并項相加即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}}}{{2+{a_{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{{2+{a_{n-1}}}}{{2{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$（n≥2），
又∵a₁=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是首項、公差均為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+（n-1）\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$，${a_n}=\frac{2}{n}$；
解：（2）由（1）可知${b_n}={a_{2n-1}}•{a_{2n+1}}=\frac{2}{2n-1}•\frac{2}{2n+1}=\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=2（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{4n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．