【題目】如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2 ，M，N分別是CC1 ， BC的中點，點P在直線A1B1上，且 ．

（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（2）當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值．

【答案】
（1）證明：∵AB=AC=2， ，∴AB2+AC2=BC2，

∴AB⊥AC，即AB、AC、AA1兩兩相互垂直．

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

則A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0）．

∵ ，∴P（2λ，0，2），∴ =（1﹣2λ，1，﹣2）. ，

∴ ．

∴無論λ取何值，AM⊥PN．


（2）∵ =（0，0，1）是平面ABC的一個法向量．

∴ = ．

∴當(dāng)λ= 時，θ取得最大值，

此時sinθ= ，cosθ= ，tanθ=2．


【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出 ， 的坐標(biāo)，只需證明 即可；（2）顯然平面ABC的法向量為 =（0，0，1），根據(jù)sinθ=|cos＜ ， ＞|求出sinθ的最大值，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出tanθ．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值，并求此時函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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【題目】若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則關(guān)于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是 ．

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【題目】如圖，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，若AA′=2AB，則異面直線AB′與BC′所成角的余弦值為（ ）

A.0
B.
C.
D.

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【題目】已知雙曲線 （a＞0，b＞0）的離心率為 ，虛軸長為4．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點（0，1），傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△OAB的面積．

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【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P（x，y）向圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|=|PO|，求點P的軌跡方程．

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【題目】下列命題中正確的是（ ）
A.若p∨q為真命題，則p∧q為真命題
B.“a＞0，b＞0”是“ ≥2”的充分必要條件
C.命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2，則x2﹣3x+2≠0”
D.命題p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0

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【題目】已知函數(shù)f（x）= ，

（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求f（f（3））的值；
（3）求f（a2+1）（a∈R）的最小值．

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【題目】已知復(fù)數(shù)z=3+bi（b∈R），且（1+3i）z為純虛數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若 ，求復(fù)數(shù)w的模|w|．

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