Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試求a，b的值，并求出f（x）的極大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，先求出函數(shù)中的參數(shù)a，b的值，再令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，當(dāng)左正右負(fù)時(shí)有極大值，當(dāng)左負(fù)右正時(shí)有極小值．再代入原函數(shù)求出極大值．

解答： 解：由已知，可得f（1）=1-3a+2b=-1①，
又f'（x）=3x²-6ax+2b，
∴f'（1）=3-6a+2b=0，②
由①，②，解得a=

1

3

，b=-

1

2

．
故函數(shù)的解析式為f（x）=x³-x²-x．
由此得f'（x）=3x²-2x-1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x＜-

1

3

或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)-

1

3

＜x＜1，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x） 在(-∞，-

1

3

)和(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-

1

3

，1)單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，f（x）取得極大值，f(x)極大值=

5

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點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．