Question

16．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=BC=2$\sqrt{3}$，E是AA₁的中點(diǎn)，則BE與平面B₁CE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由等體積求出B到平面B₁CE的距離，即可求出BE與平面B₁CE所成角的正弦值．

解答 解：由題意，△B₁CE中，B₁E=CE=$\sqrt{7}$，B₁C=2$\sqrt{6}$，∴${S}_{△{B}_{1}CE}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×1$=$\sqrt{6}$，
設(shè)B到平面B₁CE的距離為h，則
由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×1$，
∴h=$\frac{3}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BE與平面B₁CE所成角的正弦值為$\frac{h}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查BE與平面B₁CE所成角的正弦值，考查體積公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．