Question

7．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），且f（x）圖象連續(xù)不斷，f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，則哈數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 由題意可得得$\frac{x{f}^{′}（x）+f（x）}{x}$＞0，進(jìn)而可得函數(shù)xf（x）單調(diào)性，而函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{xf（x）+1}{x}$，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)為函數(shù)y=xf（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
可得y=xf（x）+1＞1，無(wú)零點(diǎn)

解答 解：由f'（x）+x^-1f（x）＞0，得$\frac{x{f}^{′}（x）+f（x）}{x}$＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，函數(shù)xf（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函數(shù)xf（x）單調(diào)遞減．
又g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{xf（x）+1}{x}$，函數(shù)g（x）=$\frac{xf（x）+1}{x}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)為函數(shù)y=xf（x）+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，y=xf（x）+1＞1，當(dāng)x＜0時(shí)，y=xf（x）+1＞1，所以函數(shù)y=xf（x）+1無(wú)零點(diǎn)，
所以函數(shù)g（x）=f（x）+x^-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）+1