【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2） 若函數(shù)
有兩個零點
， 
，且
，證明： 
.
【答案】（1）當
時，知
在
上遞減；當
時， 
在
上遞減，在
上遞增；（2）證明見解析.
【解析】試題分析：
（1）由函數(shù)的解析式了的
， 
，分類討論有：當
時，知
在
上遞減；當
時， 
在
上遞減，在
上遞增；
（2）由（1）知， 
， 
，且
，故
， 
，原問題等價于
，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為
即可，而
， 
，構(gòu)造函數(shù)，令
， 
，結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)可得
，即
，則結(jié)論得證.
試題解析：
（1）
， 
，
當
時， 
，知
在
上是遞減的；
當
時， 
，知
在
上是遞減的，在
上遞增的.
（2）由（1）知， 
， 
，
依題意
，即
，
由
得， 
， 
， 
，
由
及
得， 
，即
，
欲證
，只要
，
注意到
在
上是遞減的，且
，
只要證明
即可，
由
得
，
所以
， 
，
令
， 
，
則
，知
在
上是遞增的，于是
，即
，
綜上， 
.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)
在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù)，試求實數(shù)
的取值范圍；
（2）已知函數(shù)
，且
，若函數(shù)
在區(qū)間
上恰有3個零點，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準
（噸）、一位居民的月用水量不超過
的部分按平價收費，超出
的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準
（噸），估計
的值，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分15分）如圖，在半徑為
的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為
．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)
，將
表示為
的函數(shù)；
②設(shè)
（
），將表示為
的函數(shù)；
（2）請您選用（1）問中的一個函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】針對國家提出的延遲退休方案，某機構(gòu)進行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：
| 支持 | 保留 | 不支持 |
|
|
|
|
|
|
|
|
（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取
個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了
人，求
的值；
（2）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取
人看成一個總體，從這
人中任意選取
人，求
歲以下人數(shù)
的分布列和期望；
（3）在接受調(diào)查的人中，有
人給這項活動打出的分數(shù)如下： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，把這
個人打出的分數(shù)看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過
概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】下表提供了工廠技術(shù)改造后某種型號設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù):
x（年） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y（萬元） | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）若知道y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程
；
（2）已知該工廠技術(shù)改造前該型號設(shè)備使用10年的維修費用為9萬元，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預測該型號設(shè)備技術(shù)改造后，使用10年的維修費用能否比技術(shù)改造前降低?參考公式:
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
R.
（1）證明：當
時，函數(shù)
是減函數(shù)；
（2）根據(jù)
的不同取值，討論函數(shù)
的奇偶性，并說明理由；
（3）當
，且
時，證明：對任意
，存在唯一的
R，使得
，且
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
和
，過點
的直線與橢圓相交于
兩點，且
,
。
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線
上有一點
在
的外接圓上，求
的值
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2016年1月1日，我國全面實行二孩政策，某機構(gòu)進行了街頭調(diào)查，在所有參與調(diào)查的青年男女中，持“響應(yīng)”“猶豫”和“不響應(yīng)”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：
響應(yīng) | 猶豫 | 不響應(yīng) | |
男性青年 | 500 | 300 | 200 |
女性青年 | 300 | 200 | 300 |
根據(jù)已知條件完成下面的
列聯(lián)表，并判斷能否有
的把握認為猶豫與否與性別有關(guān)？請說明理由.
猶豫 | 不猶豫 | 總計 | |
男性青年 | |||
女性青年 | |||
總計 | 1800 |
參考公式：
參考數(shù)據(jù)：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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