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【題目】（本題滿分15分）如圖，在半徑為的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為．

（1）按下列要求建立函數關系式：

①設，將表示為的函數；

②設（），將表示為的函數；

（2）請您選用（1）問中的一個函數關系，求圓柱形罐子的最大體積．

【答案】（1）①，（）

②，（）

（2）

【解析】

試題（1）要將實際問題轉化為函數問題，根據題意構建數學模型，利用直角三角形 求底面圓的半徑 ，進而列出函數關系式（2）求體積的最大值轉化為求函數的最大值，先求導，再判斷單調性，再求最值。

試題解析：解：（1）①，，

，（） 4分

②，，

，（） 8分

（2）選用：，，

令 ，則 10分

列表得：

單調增

極大值

單調減

（不列表，利用導函數的符號，判斷出單調性同樣得分）

選用：令，

，

令 ，則 10分

列表得：

單調增

極大值

單調減

，即 15分

（對直接求導求解也得分，）

答：圓柱形罐子的最大體積為．

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知橢圓的離心率為，傾斜角為的直線經過橢圓的右焦點且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線與圓相切于點，且交橢圓于兩點，射線于橢圓交于點，設的面積于的面積分別為.

①求的最大值；

②當取得最大值時，求的值.

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（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于兩點，記和的面積分別為，證明： .

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【題目】已知函數．

（1）當=0時，求實數的m值及曲線在點（1， ）處的切線方程；

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【題目】自治區(qū)有甲、乙兩位航模運動員參加了國家隊集訓，現分別從他們在集訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（I）畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖，指出學生乙成績中的位數；

（II）現要從中派一人參加國際比賽，從平均成績和方差的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適？請說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形， 平面， ， 是上一點，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數.

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（2） 若函數有兩個零點， ，且，證明： .

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【題目】已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸的正半軸上，過焦點作斜率為的直線交拋物線于兩點，且，其中為坐標原點.

（1）求拋物線的方程；

（2）設點，直線分別交準線于點，問：在軸的正半軸上是否存在定點，使，若存在，求出定點的坐標，若不存在，試說明理由.

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