Question

（2012•臨沂一模）在1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這（n+2）個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這（n+2）個(gè)數(shù)的積記作T_n，n∈N^*；
（1）求數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2lgT_n-3，求數(shù)列{

bn

2n

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)在數(shù)1 和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，我們易得這n+2項(xiàng)的幾何平均數(shù)為10，故T_n=10ⁿ⁺²，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們易計(jì)算出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II））由b_n=2lgT_n-3=2n+1可得

bn

2n

=

2n+1

2n

，從而可利用錯(cuò)位相減求和即可

解答：解：（I）∵在數(shù)1 和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，設(shè)插入的這n個(gè)數(shù)分別為a₁，a₂，a₃，…a_n
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₁•a_n=a₂•a_n-1=…=1×100
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
（II）∵b_n=2lgT_n-3=2n+4-3=2n+1
∴S_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

1

2

sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

兩式相減可得

1

2

sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

=

3

2

+2•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

1

2n-1

-

2n+1

2n+1

Sn=5-

1

2n-2

-

2n+1

2n+1

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，其中根據(jù)已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．