Question

16．在平行四邊形ABCD中，AD=4，∠BAD=$\frac{π}{3}$，E為CD中點，若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=4，則AB的長為6．

Answer 1

分析 利用向量的加減運算和向量的夾角公式即可求解．

解答 解：∵ABCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•$$（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}）$，
∵$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•$$（\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=${\overrightarrow{BC}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{BC}|•cos∠A$，$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=16-$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$+$\frac{1}{2}×$4×$|\overrightarrow{AB}|$×cosA=4．
可得：|AB|=6．
故答案為：6．

點評 本題考查了向量的加減運算和向量的夾角公式的運用．屬于基礎題．