Question

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂[f（a）]=2（a≠1）．
（1）求f（log₂x）的最小值及對應(yīng)的x值；
（2）若不等式f（log₂x）＞f（1）的解集記為A，不等式log₂[f（x）]＜f（1）的解集記為B，求A∩B．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),交集及其運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得log₂a=1或log₂a=0，解得a=2，由log2[f(a)]=log2(a2-a+b)=log2(2+b)=2，得b=2，由此得到f(log2x)=lo

g

2 2

x-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，從而能求出f（log₂x）的最小值及對應(yīng)的x值．（2）由已知得log₂x（log₂x-1）＞0，從而A={x|0＜x＜1或x＞2}，由0＜x²-x+2＜4得B={x|-1＜x＜2}，由此能求出A∩B．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-x+b，
∴f(log2a)=lo

g

2 2

a-log2a+b=b，
∴l(xiāng)og₂a=1或log₂a=0，
∴a=2或a=1（舍）（2分）
又∵log2[f(a)]=log2(a2-a+b)=log2(2+b)=2，
∴2+b=4∴b=2，（4分）
∴f（x）=x²-x+2，f(log2x)=lo

g

2 2

x-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

∴當(dāng)log2x=

1

2

，即 x=

2

時，
f（log₂x）的最小值為

7

4

．（6分）
（2）由f(log2x)＞f(1) 得 lo

g

2 2

x-log2x+2＞2，
∴l(xiāng)og₂x（log₂x-1）＞0，
∴l(xiāng)og₂x＜0或log₂x＞1，
∴0＜x＜1或x＞2，即A={x|0＜x＜1或x＞2}，（9分）
由log2[f(x)]＜f(1) 得 log2(x2-x+2)＜2，
∴0＜x²-x+2＜4解得-1＜x＜2，
∴B={x|-1＜x＜2}，（11分）
∴A∩B={x|0＜x＜1}．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查集合的交集的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．