【題目】已知三棱柱的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)面的面積為.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若的中點(diǎn)為E，則平面；

②若三棱柱的體積為，則到平面的距離為3；

③若，，則球O的表面積為；

④若，則球O體積的最小值為.

當(dāng)則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【解析】

①,證明，平面即得證，所以該命題正確；

②，求出到平面的距離為2，所以該命題錯(cuò)誤；

③，求出，即可判斷該命題正確；

④，求出外接球的半徑的最小值為2，即得球O體積的最小值為，所以該命題正確.

①，如圖，連接,交于點(diǎn),連接.因?yàn)?/span>，所以,因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，所以該命題正確；

②，連接,過(guò)作,垂足為,因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，所以平面，所以到平面的距離就是.由題得,所以，所以到平面的距離為2.所以該命題不正確；

③，如圖，取中點(diǎn)，連接,則的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,連接.設(shè)，球的半徑為,則所以.由題得，所以.所以，所以球O的表面積為,所以該命題正確；

④，設(shè)，球的半徑為,設(shè)上底面和下底面的中心分別為,連接,則其中點(diǎn)為,連接.由題得所以,即，又，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以最小值為2，所以球O體積的最小值為，所以該命題正確.

故選：D.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）

①在R上單調(diào)遞減

②的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

③的圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為3

④函數(shù)不存在零點(diǎn)

A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④

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【題目】公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的值的范圍是：，為紀(jì)念數(shù)學(xué)家祖沖之在圓周率研究上的成就，某教師在講授概率內(nèi)容時(shí)要求學(xué)生從小數(shù)點(diǎn)后的6位數(shù)字1，4，1，5，9，2中隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)字做為小數(shù)點(diǎn)后的前兩位（整數(shù)部分3不變），那么得到的數(shù)字大于3.14的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知橢圓C： 的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，探究：平行四邊形的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)滿足，則下列命題中正確的是（）

A. 函數(shù)圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為

B. 函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C. 函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱

D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)

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【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，時(shí)，恒成立，求m的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－ (a∈Z)成立，求a的最小值．

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.

（1）若為的中點(diǎn)，求證：面；

（2）若二面角為，設(shè)，試確定的值.

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A.B.C.D.

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