Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊是a、b、c．
（I）若a，b，c成等比例數(shù)列，求角B的范圍；
（II）若acosB+bcosA=2ccosC，且sinA=2sinB，邊c∈(

1

2

，4]時(shí)，求△ABC面積的范圍．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)閍，b及c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，設(shè)a≤b≤c，再利用余弦定理表示出cosB，把列出的關(guān)系式代入，并利用基本不等式a²+c²≥2ac，得出cosB的范圍，由B為三角形的內(nèi)角，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出角B的范圍；
（II）利用正弦定理化簡(jiǎn)acosB+bcosA=2ccosC，并根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinC不為0，得到cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值可得C的度數(shù)，再利用正弦定理化簡(jiǎn)sinA=2sinB，得到a=2b，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，把a(bǔ)=2b及cosC的值代入，得到c=

3

b，可得b=

3

3

c，利用三角形的面積公式S=

1

2

absinC，把sinC的值，及a=2b代入，并將b=

3

3

c代入，用c²表示出三角形的面積，然后由c的范圍得到c²的范圍，進(jìn)而確定出三角形面積的范圍．

解答：解：（I）由題意知a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
不妨設(shè)a≤b≤c，
由余弦定理得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
根據(jù)B為三角形內(nèi)角，可得0＜B≤

π

3

，
則角B的范圍為（0，

π

3

]；
（II）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
將②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化簡(jiǎn)，得sin（A+B）=2sinCcosC．（5分）
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∴sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

，
將②代入sinA=2sinB得：a=2b，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
把a(bǔ)=2b代入得：c²=4b²+b²-2b²=3b²，
∴c=

3

b，即b=

3

3

c，
∵a=2b，sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

×2b²=

3

6

c²，
又c∈（

1

2

，4]，
∴c²∈（

1

4

，16]，
∴

3

24

＜

3

6

c²≤

8 3

3

，
則S_△ABC的范圍為（

3

24

，

8 3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．