Question

【題目】在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意給定的a，b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質： ⑴對任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）對任意a∈R，a*0=a；（3）對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．關于函數(shù)f（x）=（3x）* 的性質，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞）．
其中所有正確說法的個數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由新運算“*”的定義，令c=0，則a*b=ab+a+b，

∴f（x）=（3x）*（ ）=1+3x+ ，

∴f′（x）=3﹣ ，令f′（x）=0，解得x=± ；

對于①，根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質可得，

在區(qū)間（﹣∞，﹣ ）上，函數(shù)圖象向下，向上無限延長

∴函數(shù)f（x）的最小值為3是錯誤的；

對于②，f（﹣x）=1﹣3x﹣ 與﹣f（x）=﹣1﹣3x﹣ 不相等，

∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)是錯誤的；

對于③，當x∈（﹣∞，﹣ ）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

同理，當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣ ）和（ ，+∞），正確；

綜上，正確的命題是③．

故選：B．

通過賦值法對f（x）的解析式進行化簡，利用導數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性和最值，再利用函數(shù)奇偶性的定義分析出函數(shù)的奇偶性，可得答案．