Question

5．為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：噸）對(duì)價(jià)格y（單位：千元/噸）和利潤z的影響，對(duì)近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤z取到最大值？（保留兩位小數(shù)）
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算，即可寫出線性回歸方程；
（Ⅱ）年利潤z=x（y-2），即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}=3$，$\overline{y}=5$，$\sum_{i=1}^5{y_i}=25$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=62.7$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
解得：$\hat b=-1.23$，$\hat a=8.69$
所以：$\hat y=8.69-1.23x$．
（Ⅱ）年利潤z=x（y-2）=-1.23x²+6.69x
所以x=2.72時(shí)，年利潤z最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了利用線性回歸方程預(yù)測生產(chǎn)問題，是基礎(chǔ)題目．