Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足$f（{2^{a-1}}）＞f（-\sqrt{2}）$，則a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，解不等式即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
則不等式足$f（{2^{a-1}}）＞f（-\sqrt{2}）$等價(jià)為足$f（{2^{a-1}}）＞f（-\sqrt{2}）$=f（$\sqrt{2}$），
則2^a-1＜$\sqrt{2}$=2${\;}^{\frac{1}{2}}$，
則0＜a-1＜$\frac{1}{2}$，
則1＜a＜$\frac{3}{2}$，
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．