Question

一位農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn)：若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400kg；若種花生，則每畝每期產(chǎn)量為100kg，但水稻成本較高，每畝每期需240元，而花生只需80元，且花生每千克可賣5元，水稻每千克只賣3元．現(xiàn)在他只能湊足400元，問這位農(nóng)民對(duì)兩種作物各種多少畝，才能得到最大利潤？

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，目標(biāo)函數(shù)表示直線在y軸上的截距的

1

500

，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．

解答：解：設(shè)這位農(nóng)民種水稻x畝，種花生y畝，
則由題意可知

x+y≤2 240x+80y≤400 x≥0 y≥0

即

x+y≤2 3x+y≤5 x≥0 y≥0

…（6分）
目標(biāo)函數(shù)利潤z=400x•3+100y•5=1200x+500y…（8分）
作出不等式組所表示的可行域如圖所示，
作直線l₀：12x+5y=0，將直線l₀向右上方平移，
由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)A(

3

2

，

1

2

)時(shí)，利潤z取得最大值．…（11分）
即這位農(nóng)民種水稻

3

2

畝，種花生

1

2

畝時(shí)可以得到最大利潤．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及利用幾何意義求最值．在解決線性規(guī)劃的問題時(shí)，我們還可以用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解．