Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（1）若點A（α，y）（α∈[0，

π

4

]）為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點，試求實數(shù)α的值；
（2）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸，求g（2x₀）的值；
（3）求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)，x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

分析：（1）點A（α，y）為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點，得到兩個函數(shù)之間的關(guān)系，得到角的表示形式，根據(jù)角的范圍作出結(jié)果．
（2）對f（x）利用二倍角進(jìn)行整理，寫出對稱軸的表示形式，代入g（x）得到結(jié)果．
（3）把兩個函數(shù)的和的形式利用二倍角公式整理出可以求解函數(shù)的值域的形式，根據(jù)函數(shù)的定義域和正弦函數(shù)的圖象求出值域

解答：解：（1）∵點A（α，y）（0≤α≤

π

4

）為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點
∴cos2α=1+

1

2

sin2α，⇒

1

2

+

1

2

cos2α=1+

1

2

sin2α⇒cos2α-sin2α=1（2分）
⇒cos²2α+sin²2α-2sin2αcos2α=1⇒sin4α=0
∴4α=kπ，k∈Z⇒α=

kπ

4

，k∈Z∵α∈[0，

π

4

]
∴α=0（4分）
（2）∵f(x)=cos2x=

1

2

+

1

2

cos2x
∴2x₀=kπ，k∈Z∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x0=1+

1

2

sin2kπ=1（7分）
（3）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）
∴h(x)=cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

3

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

3

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（10分）
∵x∈[0，

π

4

]∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

∴

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1∴2≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

≤

3+ 2

2

．
即函數(shù)h（x）的值域為[2，

3+ 2

2

]．（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變形和對稱性，值域，本題解題的關(guān)鍵是整理出函數(shù)的可以求解函數(shù)的性質(zhì)的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．