Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E為邊DC的中點，如圖1.將△ADE沿AE折起到△AEP位置，連PB、PC，點Q是棱AE的中點，點M在棱PC上，如圖2.

(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；

(2)若平面AEP⊥平面ABCE，點M是PC的中點，求三棱錐A ­MQB的體積．

圖1　　　　　　　　圖2　　

Answer 1

解　(1)連AC、BQ，設(shè)AC∩BQ＝F，連MF.

則平面PAC∩平面MQB＝MF，因為PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，所以PA∥MF.(2分)

在等腰梯形ABCD中，E為邊DC的中點，所以由題設(shè)，AB＝EC＝2.

所以四邊形ABCE為平行四邊形，則AE∥BC.(4分)

從而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.

又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)

(2)由(1)知，△AED是邊長為2的正三角形，從而PQ⊥AE.

因為平面AEP⊥平面ABCE，交線為AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.

因為PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交線為QC.(9分)

過點M作MN⊥QC于N，則MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱錐M ­ABQ的高．

因為PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.

因為點M是PC的中點，所以MN＝PQ＝.(11分)

由(1)知，△ABE為正三角形，且邊長為2.所以，S_△ABQ＝.

三棱錐A ­MQB的體積V_{A ­MQB}＝V_{M ­ABQ}＝＝.