【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為.點為圓上任意一點, 為坐標原點.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設(shè)直線經(jīng)過點且與橢圓相切, 與圓相交于另一點,點關(guān)于原點的對稱點為,證明:直線與橢圓相切.

【答案】(1)(2)見解析

【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到, ,進而求得方程;(2)由點P的坐標寫出直線PA,由相切關(guān)系得到,同理,由直線與橢圓也得到: ,再由,可化簡得到.

解析:

解:由題意,知, ,

所以 ,

所以橢圓的標準方程為.

證明:由題意,點在圓上,且線段為圓的直徑,

所以.

當直線軸時,易得直線的方程為,

由題意,得直線的方程為

顯然直線與橢圓相切.

同理當直線軸時,直線也與橢圓相切.

當直線軸既不平行也不垂直時,

設(shè)點,直線的斜率為,則,直線的斜率,

所以直線 ,直線 ,

消去

.

因為直線與橢圓相切,

所以,

整理,得1

同理,由直線與橢圓的方程聯(lián)立,

.2

因為點為圓上任意一點,

所以,即.

代入(1)式,得,

代入(2)式,得

.

所以此時直線與橢圓相切.

綜上,直線與橢圓相切.

練習冊系列答案
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