Question

如圖，在四棱錐V-ABC中，VA=VC=AB=BC=1，∠AVC=∠ABC=90°，二面角V-AC-B的大小為60°．
（1）求證：VB⊥AC；
（2）求四棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AC的中點(diǎn)為D，連接VD，BD，通過證明直線AC⊥平面VDB，然后證明VB⊥AC；
（2）證明△VDB為等邊三角形，利用V_V-ABC=

1

3

S△VDB•AC求三棱錐V-ABC的體積．

解答： （1）證明：取AC的中點(diǎn)為D，連接VD，BD．
∵VA=VB，∴AC⊥VD；同理AC⊥BD．
于是AC⊥平面VDB．
又VB?平面VDB，故VB⊥AC．
（2）解：由（1）知AC⊥平面VDB，
∴∠VDB是二面角V-AC-B的平面角，
∴∠VDB=60°，
∵∠AVC=∠ABC=90°，VA=VC=AB=BC=1，
∴VD=DB=

2

2

，
∴△VDB為等邊三角形，
∴V_V-ABC=

1

3

S△VDB•AC=

1

3

•

3

4

•(

2

2

)2•

2

=

6

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的垂直的性質(zhì)定理以及棱錐體積的求法，考查邏輯思維能力與計(jì)算能力．