Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0解得的區(qū)間為增區(qū)間和fˊ（x）＜0解得的區(qū)間為減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間不能并；
（2）不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立可轉(zhuǎn)化成f（x）在x∈[-2，2]的最大值小于等于1，結(jié)合a的范圍研究函數(shù)f（x）在x∈[-2，2]的最大值，建立不等式解之即可．

解答：解：（I）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3(x-

a

3

) (x+a)，
又a＞0，當(dāng)x＜-a或x＞

a

3

時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)-a＜x＜

a

3

時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），（

a

3

，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-a，

a

3

）
（II）∵a∈[3，6]由（I）知

a

3

∈[1，2]，-a≤-3
又x∈[-2，2]
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
∵f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²的最小值為-87
m≤-87

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．