冪函數(shù)y=xa，當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖），設(shè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，1），若y=xα，y=xβ的圖象與線段AB分別交于M、N，且
BM
=
NA
，則4α+β的最小值為
 
．
考點(diǎn)：相等向量與相反向量,冪函數(shù)的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：利用互為反函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的性質(zhì)可得：α=
1
β
．且α＞0，β＞0．代入利用基本不等式即可得出．
解答： 解：由互為反函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的性質(zhì)可得：α=
1
β
．且α＞0，β＞0．
∴4α+β=4α+
1
α
≥2
4α•
1
α
=4，當(dāng)且僅當(dāng)α=
1
2
時(shí)取等號(hào)．
因此4α+β的最小值為4．
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，θ∈[0，
π
2
]．
（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y=
3
x+2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={-2，-1，3，4}，B={-1，2，3}，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某熱飲店6天賣的熱茶杯數(shù)（y）與當(dāng)天氣溫（x）之間是線性相關(guān)的，已知這6天氣溫平均12℃，回歸方程為y=-2x+58，則這6天熱飲店平均賣出熱茶杯數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點(diǎn)M（1，1）作斜率為-
1
2
的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的n的值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
3
2
sin2x+cos2x的最小正周期為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　　）
A、
8π
3
B、3π
C、
10π
3
D、6π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c2=（a-b）2+6，C=
π
3
，則△ABC的面積是（　�。�
A、
3
B、
9
3
2
C、
3
3
2
D、3
3

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