Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%．
（1）若建立函數(shù)y=f（x）模型制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，試用數(shù)學(xué)語言表述該公司對獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)f（x）模型的基本要求，并分析函數(shù)y=

x

150

+2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因；
（2）若該公司采用模型函數(shù)y=

10x-3a

x+2

作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)“獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數(shù)，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%，即f（x）≤

x

5

．對于函數(shù)模型，由一次函數(shù)的性質(zhì)研究，是否滿足第一，二兩個(gè)條件，利用反例研究是否滿足第三個(gè)條件；
（2）對于函數(shù)模型f（x）=

10x-3a

x+2

，即f（x）=10-

3a+20

x+2

當(dāng)3a+20＞0，即a＞-

20

3

時(shí)遞增，利用f（1000）≤9，

10x-3a

x+2

≤

x

5

，即可確定a的范圍，從而可求滿足條件的最小的正整數(shù)a的值．

解答：解：（1）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），則公司對函數(shù)模型的基本要求是：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①f（x）是增函數(shù)；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤

x

5

恒成立．
對于函數(shù)模型f（x）=

x

150

+2：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則f（x）max=f（1000）=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9
所以f（x）≤9恒成立．
因?yàn)閤10時(shí)，f（10）=

1

15

+2＞

10

5

，所以，f（x）≤

x

5

不恒成立．
故該函數(shù)模型不符合公司要求；
（2）對于函數(shù)模型f（x）=

10x-3a

x+2

，即f（x）=10-

3a+20

x+2

當(dāng)3a+20＞0，即a＞-

20

3

時(shí)遞增，
為要使f（x）≤9對x∈[10，1000]時(shí)恒成立，即f（1000）≤9
∴3a+18≥1000，∴a≥

982

3

為要使f（x）≤

x

5

對x∈[10，1000]時(shí)恒成立，即

10x-3a

x+2

≤

x

5

，∴x²-48x+15a≥0恒成立，∴a≥

192

5

綜上，a≥

982

3

，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇，其實(shí)質(zhì)是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)，確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實(shí)際意義符號化．